Fluide en équilibre statique
![](.\Img\Pasted image 20221013080517.png)
Forces:
- Force pressante
- Poids (Force de pesanteur)
Ces deux forces se compensent, c'est pourquoi le fluide est statique.
En mécanique des fluides, on préfère exprimer les forces volumiques.
Force volumique pressante
La force volumique préssante s'écrit:
$$\vec f_P={{\frac{d\vec F_P}{d\tau} }}=-\vec{grad}(P)$$
Avec:- \(\vec f_P\): la force volumique pressante en \(N.m^{-3}\)
Equation de la statique des fluides
Un fluide statique est un fluide immobile, c'est-à-dire un fluide dont toutes les forces se compensent.
En appliquant la
Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique pour une particule élémentaire:
$$\sum d\vec F_{ext}=dm.\vec a=\vec 0$$
$$dm.\vec g+d\vec F_P=\vec 0\qquad \text{(en absence d'autres forces)}$$
$$\rho d\tau\vec g-\vec{grad}(P)d\tau=\vec 0$$
Enoncé de l'équation de la statique des fluides
Cette équation découle de la Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique pour un fluide statique.
On trouve:
$$\vec{grad}P(M)={{\rho(M)\vec g}}$$
Cas d'un fluide incompressible
Un fluide est imcopressible \((\rho=cst)\) tant que la vitesse des ondes qui le traversent est petite devant la vitesse du son.
D'après l'
Equation de la statique des fluides:
$$dP=-\rho g dz$$
$$d(P+\rho g dz)=0$$
$$\implies P+\rho g z=cst\quad \text{en }J.m^{-3}$$
On en déduit que les "isobares" sont des surfaces horizontales.
Cela explique que les vases communiquants à l'équilibre soient tous remplies jusqu'à la même hauteur.
Profil de pression dans l'eau
![](.\Img\Pasted image 20221013090339.png)
Entre \(M_0\) et \(M\)
$$P_0+\rho g z_0=P(z)+\rho g z$$
$$\implies P(z)= P_0+\rho g(z_0-z)$$
$$P=P_0+\rho g h$$
\(P\) croît linéairement avec la profondeur \(h\).
Cas d'un fluide compressible
On se place dans le cas d'un référentiel galiléen à une pesanteur uniforme, dans l'air en équilibre et isotherme (Comportement du gaz parfait).
On cherche la pression en tout point \(z\).
$$\vec{grad}=\rho\vec g$$ (
Equation de la statique des fluides)
$$dP=-\rho.g.dz$$
Avec \(\rho\) qui dépend de la pression car nous somme dans un fluide compressible.
Equation du gaz parfait (
Equation des gaz parfaits):
$$P.V=n.R.T$$
Avec: \(n=\frac mM\)
On a:
$$\rho=\frac{PM}{RT}$$
Par conséquent:
$$dP=-\frac{PMg}{RT}dz$$
On veut maintenant intégrer:
$$\frac {dP}P=-\frac{Mg}{RT}dz$$
$$d(ln(P))=-\frac{Mg}{RT}dz$$
$$\implies [ln(P)]_{p_0}^{P(z)}=-\frac{Mg}{RT}[z]_0^z$$
$$ln(\frac{P(z)}{P_0})=-\frac{Mg}{RT}z$$
$$P(z)=P_0e^{\frac{Mg}{RT}z }$$
On peut poser \(z_0=\frac{RT}{Mg}\) en \(mètre\):
$$\bbox[5px, border: 2px solid red]{P(z)=P_0e^\frac z{z_0} }$$
Poussée d'Archimède
Poussée d'Archimède